函数的单调性、奇偶性是高考考试的重点和热门内容之一，尤其是两性质的应用愈加突出.本节主要帮助考生掌握如何借助两性质解题，学会基本办法，形成应用意识.

●难题磁场

(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0.

●案例探究

[例1]已知奇函数f(x)是概念在(-3，3)上的减函数，且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函数g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.

命题意图：本题是函数性质的综合性题目，考生需要具备综合运用常识剖析和解决问题的能力，属★★★★级题目.

常识依托：主要依据函数的性质去解决问题.

错解剖析：题目不等式中的“f”号怎么样去掉是难题，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉概念域.

方法与办法：借用奇偶性脱去“f”号，转化为xcosplay不等式，借助数形结合进行集合运算和求最值.

解：由 且x≠0,故0

又∵f(x)是奇函数，∴f(x-3)-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(-3，3)上是减函数，

∴x-33-x2,即x2+x-60,解得x2或x-3,综上得2

∴B=A∪{x|1≤x≤ }={x|1≤x },又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2- 知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=-4.

[例2]已知奇函数f(x)的概念域为R，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，是不是存在实数m,使f(cosplay2θ-3)+f(4m-2mcosplayθ)f(0)对所有θ∈[0, ]都成立?若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若没有，说明理由.

命题意图：本题是探索性问题，主要考查考生的综合剖析能力和逻辑思维能力与运算能力，属★★★★★题目.

常识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，借助等价转化的思想办法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.

错解剖析：考生不容易运用函数的综合性质去解决问题，特别不容易考虑运用等价转化的思想办法.

方法与办法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.

解：∵f(x)是R上的奇函数，且在[0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cosplay2θ-3)f(2mcosplayθ-4m),

即cosplay2θ-32mcosplayθ-4m,即cosplay2θ-mcosplayθ+2m-20.

设t=cosplayθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0，1]上的值恒为正，又转化为函数g(t)在[0，1]上的最小值为正.

∴当 0,即m0时，g(0)=2m-20 m1与m0不符;

当0≤ ≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=- +2m-20

4-2

当 1,即m2时，g(1)=m-10 m1.∴m2

综上，符合题目需要的m的值存在，其取值范围是m4-2 .

●锦囊妙计

本难题所涉及的问题与解决的办法主要有：

(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目需要考生需要具备驾驭常识的能力，并具备综合剖析问题和解决问题的能力.

(2)应用问题.在借助函数的奇偶性和单调性解决实质问题的过程中，总是还要用到等价转化和数形结合的思想办法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.尤其是：总是借助函数的单调性求实质应用题中的最值问题.