充分条件、必要条件和充要条件是要紧的数学定义，主要用来区别命题的条件p和结论q之间的关系.本节主如果通过不一样的要点来分析充分必要条件的意义，让考生能准确断定给定的两个命题的充要关系.

●难题磁场

(★★★★★)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|2且|β|2是2|a|4+b且|b|4的充要条件.

●案例探究

[例1]已知p：|1- |≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.

命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了要点的灵活性.

常识依托：本题解题的亮点是借助等价命题对题目的文字表述方法进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.

错解剖析：对四种命题与充要条件的概念实质理解不明确是解此题的难题，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.

方法与办法：借助等价命题先进行命题的等价转化，搞明确命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包括关系，进而使问题解决.

解：由题意知：

命题：若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分非必要条件.

p:|1- |≤2 -2≤ -1≤2 -1≤ ≤3 -2≤x≤10

q:x2-2x+1-m2≤0 [x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 *

∵p是q的充分非必要条件，

∴不等式|1- |≤2的解集是x2-2x+1-m2≤0(m0)解集的子集.

又∵m0

∴不等式*的解集为1-m≤x≤1+m

∴ ，∴m≥9，

∴实数m的取值范围是[9，+∞ .

[例2]已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.

命题意图：本题重点考查充要条件的定义及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.

常识依托：以等比数列的断定为主线，使本题的亮点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格借助概念去断定.

错解剖析：由于题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生比较容易忽略充分性的证明.

方法与办法：由an= 关系式去探寻an与an+1的比值，但同时应该注意充分性的证明.

解：a1=S1=p+q.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1)

∵p≠0,p≠1,∴ =p

若{an}为等比数列，则 =p

∴ =p,

∵p≠0，∴p-1=p+q，∴q=-1

这是{an}为等比数列的必要条件.

下面证明q=-1是{an}为等比数列的充分条件.

当q=-1时，∴Sn=pn-1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p-1

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=pn-1(p-1)

∴an=(p-1)pn-1 (p≠0,p≠1)

=p为常数

∴q=-1时，数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=-1.

●锦囊妙计

本难题所涉及的问题及解决方案主要有：

(1)要理解“充分条件”“必要条件”的定义：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真伪.

(2)要理解“充要条件”的定义，对于符号“ ”要熟知它的各种近义词语：“等价于”，“当且仅当”，“需要并且仅需”，“……，反之也真”等.

(3)数学定义的概念具备相称性，即数学定义的概念都可以看成是充要条件，既是定义的判断依据，又是定义所具备的性质.

(4)从集合看法看，若A B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;若A=B，则A、B互为充要条件.

(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).