二阶常系数线性微分方程

考试知识点1、二阶常系数线性齐次方程y+py+qy=0解的结构

若函数y₁,y₂为该方程两个线性无关的解，即y₁ky₂，则该方程的通解为y=C₁y₁+C₂y₂.

考试知识点2、二阶常系数线性非齐次方程y+py+qy=f解的结构

若y*为方程y+py+qy=f的一个特解，ӯ=C₁y₁+C₂y₂为与其对应的齐次方程y+py+qy=0的通解，则y*+y为方程y+py+qy=f的通解.

若y₁是方程y+py+qy=f1的解，y₂是方程y+py+qy=f₂的解，则y₁十y₂是方程y+py+qy=f₁+f₂的解.

考试知识点3、二阶常系数线性齐次方程y+py+qy=0通解的求法

先写出与其对应的特点方程r+pr+q=0.

1.若特点方程有两个不等实根r₁,r₂，则齐次方程的通解为ӯ=C₁eʳ1ˣ+C₂er₂x.

2.若特点方程有一重根r，则齐次方程的通解为ӯ=eʳˣ.

3.若特点方程无实根，或者说有一对共轭复根r₁=+i，r₂=-i，则齐次方程的通解为ӯ=eᵃˣ .

考试知识点4、二阶常系数线性非齐次方程y+py+qy=f通解的求法

1.先求出与其对应的齐次方程y+py+qy=0的通解y.

2.再求出非齐次方程的特解y*，则该方程的通解为y=ӯ+y*.

3.特解y*的求法

若f =Pn eᵃˣ， 则方程的特解可设为y*=xӯᴷQn eᵃˣ，其中Qn与Pn是同次多项式，系数待定，且

k=0,不是特点根，

k=1,为单独特点根，

k=2,为二重特点根.

若f=eᵃˣ，则方程的特解可设为y*=xᴷeᵃˣ。其中A₁，B₁为待定系数，且

k=0,a+i不是特点根，

k=1,a+i是特点根.

解题指导

二阶常系数线性微分方程的求解办法：

第一步：第一判断方程种类是不是为二阶常系数线性微分方程.

第二步：如果是，看是齐次，还是非齐次.

1.如果是齐次的，应先写出特点方程：r+pr+q=0，然后求特点根，由特点根架构方程的通解.

2.如果是非齐次的，应先求出其对应的齐次方程的通解，然后架构非齐次方程的特解，最后由解的结构得到原非齐次方程的通解.

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